Question

设二次函数f（x）在[-1，4]上的最大值为12，且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（0，5）． （1）求f（x）

设二次函数f（x）在[-1，4]上的最大值为12，且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（0，5）． （1）求f（x）的解析式；（2）若对任意的实数x都有f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意设二次函数的解析式为f（x）=ax（x-5），且a＞0，
再根据在区间[-1，4]上的最大值为f（-1）=6a=12，求得 a=2，
可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．
（2）因为f（x）的对称轴为x＝

5

2

且其图象开口向上
所以f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）     等价于
|2-2cosx-

5

2

|＜|1-cosx-m-

5

2

|即|2cosx+

1

2

|＜|cosx+m+

3

2

|
令t＝cosx+

3

2

∈[

1

2

，

5

2

]即|2t-

5

2

|＜|t+m|m+t＞2t?

5

2

，m+t＜?2t+

5

2

∴实数m的取值范围为{m|m＞1或m＜-5}