如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=2，D，E分别为BB1、AC的中点（Ⅰ）证
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=2，D，E分别为BB1、AC的中点（Ⅰ）证明：BE∥平面AC1D；（Ⅱ）求二面角...
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=2，D，E分别为BB1、AC的中点（Ⅰ）证明：BE∥平面AC1D；（Ⅱ）求二面角A1-AD-C1的大小．
展开
1个回答
展开全部
解答：（Ⅰ）证明：以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），A1(1，0，
)，C1(0，1，
)，D(0，0，
)，E(
，
，0)，
=(-1，0，
)，
=(0，-1，-
)，
设平面AC1D的一个法向量为
=(x，y，z)，
则由
?
=0和
?
=0?-x+
z=0，-y-
z=0，
取x=1，y=-1，z=
，所以法向量
=(1，-1，
)，
又
=(
，
，0)，
?
=
-
+0=0，
因为
?平面AC1D，所以BE∥平面AC1D．
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC1D的法向量为
=(1，-1，
)．
又平面A1AD的法向量为
=(0，1，0)，所以cos(
，
)=
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| ||
| 2 |
| C1D |
| ||
| 2 |
设平面AC1D的一个法向量为
| n |
则由
| AD |
| n |
| C1D |
| n |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
取x=1，y=-1，z=
| 2 |
| n |
| 2 |
又
| BE |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| BE |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因为
| BE |
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC1D的法向量为
| n |
| 2 |
又平面A1AD的法向量为
| m |
| n |
| m |
|
