Question

已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2-anSn+2an=0．（1）求an．（2）若bn=2n-1，记{1bnSn

已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2-anSn+2an=0．（1）求an．（2）若bn=2n-1，记{1bnSn}前n项和为Tn，求证：Tn＜3．

Answer 1

（1）由S₁=a₁=1，S_n²-a_nS_n+2a_n=0知，
（1+a₂）²-a₂（1+a₂）+2a₂=0，
解得，a₂=-

1

3

，S₂=

2

3

，
∵S_n²-a_nS_n+2a_n=0，
∴S_n²-（S_n-S_n-1）S_n+2（S_n-S_n-1）=0，
∴S_n-1S_n+2S_n-2S_n-1=0，
∴

1

Sn

?

1

Sn?1

=

1

2

，
则数列{

1

Sn

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
则

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
则S_n=

2

n+1

，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

；
则a_n=

1，n＝1 ? 2 n(n+1) ，n≥2

．
（2）由题意，
T_n=

1

21?1

×1+

1

22?1

×

3

2

+

1

23?1

×2+…+

1

2n?1

×

n+1

2

①；
2T_n=2×1+

1

21?1

×

3

2

+

1

22?1

×2+…+

1

2n?2

×

n+1

2

②；
②-①得，
T_n=2+

1

2

（

1

21?1

+

1

22?1

+

1

23?1

+…+

1

2n?2

）-

1

2n?1

×

n+1

2

=2+

1

2

×

1? 1 2n?1

1? 1 2

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

＜3．