Question

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元．此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元．此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x亿元．已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%．为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y元，求y的值．（参考数据：1.111≈2.85）

Answer 1

（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，
到2012年，n=11，该城市的人口数为200+（11-1）×10=300万人，
故2012年医疗费用投入为300×10⁴×1000=3×10⁹元，即为30亿元，
由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，
∴10+（11-1）x=30，解得x=2；
（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），
该城市的人口数组成一个等比数列{a_n}，
其中a₁=300×（1+10%）=300×1.1，公比q=1.1，an＝300×1．1n．
医疗费用人均投入组成一个等差数列{b_n}，
其中b₁=1000+y，公差为y，b_n=1000+ny；
于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：
S₁₀=a₁b₁+a₂b₂+…+a₁₀b₁₀，
=300（1000+y）×1.1+300（1000+2y）×1.1²+…+300（1000+10y）×1.1¹⁰，
1.1S10＝300(1000+y)×1．12+3000(1000+2y)×1．13+…+300（1000+10y）×1.1¹¹，
相减得：?0.1S10＝300[1100+1.1y+1．12y+…+1．110y?(1000+10y)×1．111]
=300[1100+

1.1?1．111

1?1.1

y?(1000+10y)×1．111]＝?300(11y+1750)，
∴S_n=3000（11y+1750）（万元），
由题设，3000（11y+1750）=6900000，解得y=50．