Question

已知曲线C：x 2 -y|y|=1．（1）画出曲线C的图象，（2）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范

已知曲线C：x 2 -y|y|=1．（1）画出曲线C的图象，（2）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范围；（3）若过点P（0，2）的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M，N，求t= OM ? OP + OM ? PN 的范围．

Answer 1

（1）当y＞0时，x 2 -y 2 =1（2分） 当y≤0时x 2 +y 2 =1（2分） 曲线C的图象，如图所示…（计4分） （2）若l：y=x+m与x 2 +y 2 =1（y≤0）有两个公共 点，则d= |m| 2 ∈[ 2 2 ，1），解得 m∈(- 2 ，-1]   …（6分） 若l：y=x+m与x 2 +y 2 =1（y≤0）和x 2 -y 2 =1 （y＞0）各有一个公共点， 则由图象知，m∈（-1，0）…（8分） ∴m的取值范围是 (- 2 ，0)                    …（9分） （3）设过点P（0，2）的直线为y=kx+2 则由图象知，k∈（-1，1），…（10分） 设M，N的坐标为M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），则由 y=kx+2 x 2 - y 2 =1 得（1-k 2 ）x 2 -4kx-5=0， ∴ x 1 + x 2 = 4k 1- k 2 ， x 1 x 2 = -5 1- k 2 …（12分） ∴ t= OM ? OP + OM ? PN = OM ?( OP + PN )= OM ? ON = x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 1 x 2 +(k x 1 +2)(k x 2 +2)=(1+ k 2 ) x 1 x 2 +2k( x 1 + x 2 )+4 = (1+ k 2 )? -5 1- k 2 +2k? 4k 1- k 2 +4= 3 k 2 -5 1- k 2 +4=1+ 2 k 2 -1 ∵k∈（-1，1），∴0≤k 2 ＜1，∴-1≤k 2 -1＜0，∴ 1 k 2 -1 ≤-1 ∴ 1+ 2 k 2 -1 ≤-1 ，∴t≤-1…（14分）