已知函数f(x)= lnx a -x .(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函
已知函数f(x)=lnxa-x.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对一切正数x,都有f(x)≤-1恒成立,...
已知函数f(x)= lnx a -x .(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对一切正数x,都有f(x)≤-1恒成立,求a的取值集合.
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Saber后宫_滲
2014-11-09
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知道答主
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(Ⅰ)∵f′(x)= -1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)= -1, 依题意 -1=0,解得a=1, ∴f(x)=lnx-x,f′(x)= -1, 当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 所以函数f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); (Ⅱ)若a<0,因为此时对一切x∈(0,1),都有 >0,x-1<0,所以 >x-1,与题意矛盾, 又a≠0,故a>0,由f′(x)= -1,令f′(x)=0,得x= . 当0<x< 时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x> 时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 所以f(x)在x= 处取得最大值 ln - , 故对?x∈R + ,f(x)≤-1恒成立,当且仅当对?a∈R + , ln - ≤-1恒成立. 令 =t,g(t)=tlnt-t,t>0.则g′(t)=lnt, 当0<t<1时,g′(t)<0,函数g(t)单调递减;当t>1时,g′(t)>0,函数g(t)单调递增; 所以g(t)在t=1处取得最小值-1, 因此,当且仅当 =1,即a=1时, ln - ≤-1成立. 故a的取值集合为{1}. |
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