Question

已知函数f（x）= lnx a -x ．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数

已知函数f（x）= lnx a -x ．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）= 1 ax -1， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）= 1 a -1， 依题意 1 a -1=0，解得a=1， ∴f（x）=lnx-x，f′（x）= 1 x -1， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减； 所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；       （Ⅱ）若a＜0，因为此时对一切x∈（0，1），都有 lnx a ＞0，x-1＜0，所以 lnx a ＞x-1，与题意矛盾， 又a≠0，故a＞0，由f′（x）= 1 ax -1，令f′（x）=0，得x= 1 a ． 当0＜x＜ 1 a 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞ 1 a 时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减； 所以f（x）在x= 1 a 处取得最大值 1 a ln 1 a - 1 a ， 故对?x∈R + ，f（x）≤-1恒成立，当且仅当对?a∈R + ， 1 a ln 1 a - 1 a ≤-1恒成立． 令 1 a =t，g（t）=tlnt-t，t＞0．则g′（t）=lnt， 当0＜t＜1时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t＞1时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增； 所以g（t）在t=1处取得最小值-1， 因此，当且仅当 1 a =1，即a=1时， 1 a ln 1 a - 1 a ≤-1成立． 故a的取值集合为{1}．