Question

如图所示，ABC是由折射率为 2 的某种透明物质制成的直角三棱镜横截面（O为AB的中点），∠A

如图所示，ABC是由折射率为 2 的某种透明物质制成的直角三棱镜横截面（O为AB的中点），∠A=30°．一束光线在纸面内从O点射入棱镜，光线与AB面间的夹角为α．若不考虑光线在AB和BC面上的反射，则：（1）若α=45°，请作出光路图并标明相应角度．（2）要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α（0°＜α＜90°）应满足什么条件？结果可用反三角函数表示．

Answer 1

（1）光线射向AB面的入射角i=45°，由折射定律有 sini sinr = 2 ，解得  r=30° 设该透明物质的临界角为C，则 sinC= 1 2 ，解得  C=45° 光线射向AC面的入射角θ 1 =90°-r=60°＞C，故发生全反射． 而θ 2 =θ 1 ，故反射光线垂直于BC面从棱镜射出，光路图如下图． （2）由几何关系可知，射向AC面的光线恰好发生全反射时r=15°，设此时α=α 1 ，则有    sin( 90 o - α 1 ) sin 15 o = 2   ① 解得 α 1 =9 0 o -arcsin( 2 sin1 5 o )   ② 当α角为90°时，射向AC的光线入射角30°，不会发生全反射，故要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α应满足   9 0 o -arcsin( 2 sin1 5 o )＜α＜9 0 o   ③ 答： （1）若α=45°，作出光路图如图． （2）要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α（0°＜α＜90°）应满足的条件是： 9 0 o -arcsin( 2 sin1 5 o )＜α＜9 0 o ．