Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝364cos2θ+9sin2θ；（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝364cos2θ+9sin2θ；（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由ρ2＝

36

4cos2θ+9sin2θ

得4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x²+9y²=36．
化为

x2

9

+

y2

4

＝1，
∴曲线C的直角坐标方程为

x2

9

+

y2

4

＝1．
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=9cosθ+8sinθ＝

145

sin(θ+φ)，
∵θ∈R，
∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为

145

．