Question

已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的

已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2?3x+1

x

，
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，
当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函数，在（

1

2

，1）上是减函数，
∴（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增区间，（

1

2

，1）上是减区间．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1时恒成立，
令g（x）=

lnx+x2

x

，则g′(x)＝

1+x2?lnx

x2

，
令h（x）=1+x²-lnx，则h′(x)＝2x?

1

x

=

2x2?1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）为增函数，
∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．