Question

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（2）当

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（2）当函数f（x）在(12，2)单调时，求a的取值范围；（3）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件．

Answer 1

（1）a=3时，f′(x)＝?2x+3?

1

x

＝?

2x2?3x+1

x

＝?

(2x?1)(x?1)

x

，
函数f（x）在区间(

1

2

，2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f(2)?f(

1

2

)＝(2?ln2)?(

5

4

+ln2)＝

3

4

?2ln2＜0，故f(2)＜f(

1

2

)，
故函数在[

1

2

，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（2）f′(x)＝?2x+a?

1

x

，令g(x)＝2x+

1

x

，则g′(x)＝2?

1

x2

，
则函数在(

1

2

，

2

2

)递减，在(

2

2

，2)递增，由g(

1

2

)＝3，g(2)＝

9

2

，g(

2

2

)＝2

2

，
故函数g（x）在(

1

2

，2)的值域为[2

2

，

9

2

)．
若f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，即a≤2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，只要a≤2

2

，
若要f'（x）≥0在(

1

2

，2)恒成立，即a≥2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，
只要a≥

9

2

．即a的取值范围是（-∞，2

2

]∪[

9

2

，+∞）．
（3）若f（x）既有极大值又有极小值，则首先必须f'（x）=0有两个不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足

△＞0 a 2 ＞0

?

a2?8＞0 a＞0

?a＞2

2

，
∴当a＞2

2

时，f'（x）=0有两个不等的正根，不妨设x₁＜x₂，
由f'（x）=?

1

x

(2x2?ax+1)=?

2

x

（x-x₁）（x-x₂）知：
0＜x＜x₁时f'（x）＜0；x₁＜x＜x₂时f'（x）＞0；