Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜ π 2 )的最小正周期为

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜
π
2
)的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（　　）为什么偶函数就是φ+
π/4=2/π+kπ

Answer 1

f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=√2sin(ωx+φ+π/4)
最小正周期为π,则ω=2π/π=2
f(x)=√2sin(2x+φ+π/4)
f(-x)=f(x),令φ+π/4=α (-π/4<α<3π/4)
√2sin(-2x+α)=√2sin(2x+α)
sin(-2x)cosα+cos(-2x)sinα=sin(2x)cosα+cos(2x)sinα
-sin2xcosα+cos(2x)sinα=sin(2x)cosα+cos(2x)sinα
sin2xcosα=0
∴cosα=0
∴α=φ+π/4=2kπ+π/2 (-π/2不在范围内)

Answer 2

∵f(x)=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=✔2sin(ωx+φ+π/4)
∵偶函数
∴sin(0+φ+π/4)=±1
∴φ+π/4=kπ+π/2