Question

1+4+9+16+25+36+...+n²=？

Answer 1

n(n+1)(2n+1)/6。

解答过程如下：

解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1，可以得到：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

..............................

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

四则运算运算顺序：

1、同级运算时，从左到右依次计算；

2、两级运算时，先算乘除，后算加减。

3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；

4、有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，，再算大括号里面的，最后算括号外面的。

5、要是有乘方，最先算乘方。

6、在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大，如有乘方先算乘方，然后从高级到低级。

Answer 2

1+4+9+16+25+36+...+n=1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

追问

感谢

Answer 3

原式=n(n+1)(2n+1)/6
推导：
2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3=
(3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
......
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去掉中间步,将右边第一项移到左边得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 -
3^3=3*3^2+3*3+1 ......
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1 两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+.+n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+.+n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3 整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

1+4+9+16+……+n²=n（n+1）（2n+1）/6

追答

(n+1)³=n³+3n²+3n+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
所以
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
4³-3³=3*3²+3*3+1
.
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
将上述n项相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+2+3+...n)+n
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+3²+...+n²)+3*(1+n)*n /2 +n
(n+1)³-1³-3*(1+n)*n /2 -n=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)³-3*(1+n)*n /2 -(1+n)=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)[(n+1)²-3n/2-1]=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)(n² +n/2)=3*(1²+2²+3²+...+n²)
(n+1)[n(2n+1)/2]=3*(1²+2²+3²+...+n²)
1²+2²+3²+...+n²=(n+1)n(2n+1)/6=n（n+1）（2n+1）/6

Answer 5

Sn=n^2