Question

两个自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数的和是84，求这两个数。请详解！

Answer 1

第一种（互质数情况）：将两数的最大公约数与最小公约数的和减去1后，分解成两个互质数相乘的形式。
第二种（倍数关系）：将两个数的和分解成1倍数与几倍数和的形式。
第三种（楼主题目）：求两个数最大公约数和最小公倍数的最大公约数，这时的最大公约数就是这两个自然数的最大公约数。

甲数 = 两个数的最大公约数 × 甲独有的质因数
乙数 = 两个数的最大公约数 × 乙独有的质因数
两数的最小公倍数 = 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
两个数的和（60）
= 两个数的最大公约数 × 甲、乙独有的质因数的和 …… ①
最大公约数与最小公倍数的和（84）
= 两个数的最大公约数 + 最大公约数 × 甲独有的质因数 × 乙独有的质因数
= 两个数的最大公约数 × （1 + 甲、乙独有的质因数的积） …… ②
比较①、②，可发现，这两个数的最大公约数可能就是60与84的最大公约数
求出两个数的最大公约数是12后，再结合①、②分析，找出各自独有的质数，最后找出这两个数。

是24与36.

Answer 2

设这个最大公因数为X，这两个数为别为Y=aX和Z=bX（且a>b）则
Y+Z=（a+b)X=60（式1）
且这两个数的最大公因数与最小公倍数之和为84
有几种种情况：
（1）假设a是b的倍数，则（a+1）X=84（式2）
但从式1得b最小为1，所以这种假设不成立。
（2）a不是b的倍数，且a、b互质，则（ab+1）X=84（式3）
联立式1和式3，得到5ab-7（a+b）+5=0；从中得出a=3，b=2；
（3）a不是b的倍数，且a、b不互质，则（ab/n+1）X=84（式4）
联立式1和式4,n从2开始取，没有满足题意的解。

Answer 3

30+30=60
最大公因数30
最小公倍数30