Question

两个自然数的和是60，它们的最大公因数和最小公倍数的和是84，两数分别是多少？（只要算式）

Answer 1

设这两个数为ad和bd, 其中gcd(a,b)=1, 则
ad+bd=60
abd+d=84
因为d | 60, d | 84, 所以d | gcd(60,84)=12,(上面各位在此就得出d=12, 不充分)
不妨设c=12/d, 则
a+b=5c
ab=7c-1
所以a, b 是方程X²-5cX+(7c-1)=0的两根。
由于根是整数，所以方程的判别式△=25c²-28c+4应该是个完全平方数。
将c=1,2,3,4,6,12逐一代入检验知，只有c=1时△=1为平方数，这时d=12, 方程为
X²-5x+6=0, 解得a=2, b=3, 所以两数为24，36

Answer 2

60=2×2×5×3=2×2×3×（2+3）
84=2×2×3×7=2×2×3×（3+4）
2×2×2×3=24
2×2×3×3=36
最大公约数2×2×3=12
最小公倍数2×2×2×3×3=72

Answer 3

60＝2×2×3×5，
84＝2×2×3×7，
最大公因数是2×2×3＝12，
7-1＝6＝2×3，
5＝2+3，
12×2＝24，12×3＝36，
是24和36，

Answer 4

60=2×2×3×5=12×（2+3）
84=2×2×3×7=12×（1+2×3）
分解质因数搭配可以看出
两个数的最大公因数是12,
最小公倍数是12×2×3=72
两个数分别是12×2=24,12×3=36