Question

若函数f(x)=x^3-ax^2(a>0)在区间(20/3,+)上是单调函数,则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是

麻烦给出具体解题思路

Answer 1

解：对f(x)求导得f’(x)=3x²+2ax
令f’(x)≥0以求原函数的单调增区间得3x²+2ax≥0，解得x≤0或x≥(2/3)a。
令f’(x)≤0以求原函数的单调减区间得3x²+2ax≤0，解得0≤x≤(2/3)a。
由题意知，区间(20/3，+∞)处于增区间，且(2/3)a≤20/3，结合已知条件a>0，解得0<a≤10。
令f(x)=0解得x=0或x=a。
结合上面的分析可知，在(-∞，a]上，f(x)≤0，在(a，+∞)上，f(x)>0，所以f(x)=1000的解只能在(a，+∞)上。
由x³-ax²=1000，变形得a=x-(1000/x²)，而
记g(x)=x-(1000/x²)，因为0<a≤10，所以0<g(x)≤10。
目测便可看出g(x)在x>0上是增函数（求导也可得出），经试算，有g(10)=0，g(14)=8+(44/49)，g(15)=10+(5/9)，可见0<g(x)≤10的解在区间(10，15)上，所以x的整数解只可能是11、12、13、14共4个，
而a=g(x)，g(x)为增函数，所以相应地，a值也只有4个。

Answer 2

f'(x)=3x²-2ax=0
解得函数有两个极值，x=0或者x=2a/3，因为a＞0，所以2a/3＞0
因为函数在(20/3,+)上是单调函数，所以2a/3＜20/3 即a＜10
又知f（0）=0 ＜1000 而函数在（-无穷，0 ）内为单调递增，所以在（-无穷，0 ）内f(x)=1000内无解，函数在（0,2a/3）内单调递减，所以在（0,2a/3）内f(x)=1000内无解
函数的解只能在（2a/3,正无穷）内
则根据x^3-ax^2=1000，解得a=x+1000/x² 要使这个函数有整数解，
此时发现，当x=-10的时候，a=0 满足条件
当x=-9的时候，a=3.3 满足条件
当x=-8的时候 a=7.625满足条件
当x=-7的时候，a>10 不再满足条件
当x＜-10的时候，a＜0，而x大于-7时，a＞10
而满足条件的四个根全部不在（2a/3,正无穷）内，所以满足条件的实数a的个数是0