Question

线性代数问题，基础解系

有一点想不明白，高手赐教，为什么由R(A)=2，即可推知b1,b2是一个基础解系呢？（基础解系是解集的最大无关组）

Answer 1

Answer 2

R(B)=2，说明B的秩为2，根据矩阵秩的定义，B中有两个列向量线性无关。
AB=0，说明B是齐次线性方程组Ax=0的解，也就是b1，b2是齐次线性方程组Ax=0的2个线性无关的解。
R(A)=2，根据齐次线性方程组解的结构知，基础解系含有4-R(A)=2个线性无关解向量。
刚好b1，b2线性无关，是方程组的解，又是2个向量。所以是一个基础解系。

首先要明确基础解系不是唯一的 。只需要找出一个即可。
齐次基础解系要满足3个条件，（在证明向量为基础解系的题目里，必要要证明这3条满足）
1、是Ax=0的解
2、是线性无关的解。
3、能线性表示所有Ax=0的解。（也就是要证明 解的个数等于n-r(A)）

newmanhero 2015年4月24日17:24:18

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

我今天想明白了，和你说的是一样的，呵呵，谢谢！，还有一个问题

请问高手bij的表达式中的最后面的|A|dij中的dij是什么意思呀？

追答

δij是一种表示而已。它表示为单位矩阵E的每个元素。
δij是为下面的计算。
此时的δij有一些特点。

有这样知识点
A的一个元素aij乘以它的代数余子式Aij，结果为|A|
A的一个元素aij乘以别的元素代数余子式Amn，结果为 0

证明是通过元素来证明的。bij是矩阵AA*中的第i行，第j列元素
bij=ai1Aj1+...+ainAjn

如果上式中的i=j，那么 aikAik = |A| = |A| × 1
如果上式中的i≠j，那么aikAik = 0 = |A| × 0

下面我们从每一行考虑，也就是说，当i=1时，第1行所有的元素为b1j
b1j=a11Aj1+...+a1nAjn
显然根据伴随矩阵的定义，我们看出每一行只有一个元素不为0，那就是i=j，处于对角线的元素。
那么b1j=a11Aj1+...+a1nAjn = |A| （1，0，0，...，0）
所以δij，当i=j时，δij=1，当i≠j时，δij=0，（δij）它就是E。

Answer 3