Question

三重积分

三重积分中用截面法先二后一，若被积函数中含x,y,在截得的Dz上如何得到只含z的表达式

Answer 1

一般来说，当被积函数f(z)仅为z的函数（与x,y无关）

，且Dz的面积容易求出时，采用“截面法”

但不是绝对的

 

如果f(x，y，z)可以拆分成只含有变量x，y，z的函数之和

也可以用截面法

 

比如你的例子，f(x，y，z)＝x＋y＋z，Dz为一圆域

当Dz关于x轴和y轴对称时，就可以用截面法

比如xoy面投影的圆心在原点时

可以利用积分区间的对称性消去x，y，只剩下含有变量z的积分函数

 

因为，加法的三重积分可以变成3个三重积分的加法

被积分函数为x，y时，三重积分的值为0

最终还是化成了被积函数只含z的三重积分

 

其它情况，要根据题目具体分析

比如积分区域为球的时候，如果变量x，y，z可以分离

那么可以分别对x，y，z使用截面法

 

 

关于你的例子，如下图：

 

追问

谢谢

追答

不客气，谢谢采纳

Answer 2

被积函数与Dz毫无关系

追问

比如f(x,y,z)=x+y+z,Dz为一圆域，求三重积分能用截面法做吗？

追答

可以啊，只是未必简单。截面基本是只在被积函数只有一个z或没有z时用，其他情况用先一后二法就行了