Question

齐次方程组有非零解的充要条件是r<n，为什么

Answer 1

证明：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

扩展资料

齐次线性方程组解的性质：

1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2也是它的解。

3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

你的表述不严谨。

齐次方程组Ax=0，A是m×n阶矩阵。A的秩为r，
则有非零解的充要条件是r<n

A的秩为r，即非零子式阶数，也就是独立方程个数。
n是A的列数，也就是变量的个数。

初中我们学过当变量个数大于独立方程个数，方程有无数解。

例如：
3个变量，2个独立方程组，那么矩阵A一定是2×3，秩r一定小于n
方程组有无数解。

newmanhero 2015年6月19日16:15:20

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 3

线性代数P72例题：

所以n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R（A)<n。

还是这道例题，假设R(A)=r=n，方程系数组成的系数矩阵A就可化为行最简型矩阵：

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

即得解x1=x2=x3=x4=0。

简单吧？