Question

n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是|A|=0还是R(A)<n呢?

Answer 1

R（A）若为n，则只有唯一零解

若R(A)<n，则有无穷多组解。

讨论|A|是没有意义的，因为行列式必须是行数与列数相等，而n元齐次方程组的系数构成的矩阵不一定能对应一个行列式。

对于齐次线性方程组，它总是有解的(零解)

所以它有唯一解的等价说法就是shu只有零解

相应地就有，它有无穷多解的等价说法就是有非零解

所以N元齐次方程AX=0有非零解的 <==> R(A)<N <==> AX=0有无数解

扩展资料：

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

当r=n时，原方程组仅有零解；

当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。 

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来意：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

R（A）若为n，则只有唯一零解。
若R(A)<n，则有无穷多组解。
讨论|A|是没有意义的，因为行列式必须是行数与列数相等，而n元齐次方程组的系数构成的矩阵不一定能对应一个行列式。

追问

如果构成的是方阵呢，那么充分必要条件是不是|A|=0？谢谢

追答

弱势方阵，R(A)<n，则一定至少有一行全是0，那么|A|=0.

Answer 3

R（A）若为n，则只有唯一零解。
若R(A)<n，则有无穷多组解。
讨论|A|是没有意义的，因为行列式必须是行数与列数相等，而n元齐次方程组的系数构成的矩阵不一定能对应一个行列式。