Question

什么是射影定理，怎样运用的？

Answer 1

射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： （1）（BD）^2;=AD · DC， （2）（AB）^2;=AD · AC ， （3）（BC）^2;=CD · AC 。 等积式 （４）ABXBC=BDXAC 证明：在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即（BD）²=AD · DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB）^2;+（BC）^2;=AD · AC+CD · AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;， 即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;。 这就是勾股定理的结论。 [编辑本段]任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b · cosC＋c · cosB， b＝c · cosA＋a · cosC， c＝a · cosB＋b · cosA。 注：以“a＝b · cosC＋c · cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b · cosC、c · cosB，故名射影定理。 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c · cosB，CD=b · cosC，∴a=BD+CD=b · cosC＋c · cosB . 同理可证其余。 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a · cosB＋b · cosA . 同理可证其它的。

Answer 2

射影定理是针对直角三角形。
所谓射影，就是正投影。
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质可得射影定理 （又叫欧几里德(Euclid)定理）即直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式：对于直角△ABC,∠BAC=90度,AD是斜边BC上的高，
射影定理，
（AD）^2=BD·DC
（AB）^2=BD·BC
（AC）^2=CD·BC
这主要是由相似三角形来推出的，例如（AD）^2=BD·DC：
由图可得三角形BAD与三角形ACD相似，
所以AD/BD＝CD/AD
所以（AD）^2=BD·DC