Question

初三数学

已知矩形ABCD中,AD=nAB,E为AB的中点,BF⊥CE于点F,过点F作DF的垂直交直线BC于G.
1.如图1,当n=1,求证：△BFG～△CFD
2.如图2 当n=2时,求证CG=7BG
如图3，当G点落在BC的延长线上时，当B=？时，C为BG中点（直接写出结果）
第三问打错了

应为当G点落在BC的延长线上时，当n=？时，C为BG中点（需要写出过程或思路）

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Answer 1

(1)n=1时，矩形ABCD是正方形，AB//CD，所以角BEC=角FCD，又BF垂直于EC，所以角FBG=角BEC，所以角FBG=角FCD
GF垂直于FD，角GFC是直角BFC与直角GFD的公共角，所以角BFG=角CFD，
所以三角形BFG相似于三角形CFD。{判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA）}
（2）由（1）可知三角形BFG相似于三角形CFD，角FGB=角FDC，所以BG/CD=BF/FC
当n=2时，AD=2AB=4BE，tan角FBG=tan角BEC=4=FC/BF
所以BG/CD=1/4，BC=2CD=8BG
CG=BC-BG=8BG-BG=7BG
(3)AB//CD,BF垂直于CE，DF垂直于FG
角DCF=角BEF=角GBF。
角DFG=90度=角BFC，所以角DFG+角CFG=角BFC+角CFG，即角DFC=角BFG
所以三角形DFC相似于三角形GFB
所以DC/BG=FC/BF
又AD=nAB=2nBE,,即 tan角FBC=FC/BF=tan角BEF=2n
所以DC/BG=2n, BC/BG=nAB/BG=nDC/BG=2(n^2)
当BC/BG=1/2时，C为BG中点，此时n=1/2。