Question

大学数学，线性代数题

Answer 1

由5*4矩阵A的秩为3,可以看出解空间维数为1（矩阵列数-秩）.
由此只需要得到齐次方程Ax=0的通解和非齐次方程Ax=b的一个特解,组合起来就好.
由于n1,n2,n3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解向量.可以得到：
A（n1+n2+2n3）=A（3n1+n2）=4b；
任取其一即得到非齐次方程的一个特如（1/2,0,0,0）
由此：A【（n1+n2+2n3-（3n1+n2）】=0；
即得到齐次方程的通解k（0,4,6,8）.
所以总的通解可写成k（0,4,6,8）+（1/2,0,0,0）

追问

多谢！

Answer 2

R(A)=3
∴Ax=0的基础解系中仅含一个解向量。
设α=3η1+η2，
β=η1+η2+2η3，
则
Aα=3Aη1+Aη2
=3b+b=4b
Aβ=Aη1+Aη2+2Aη3
=b+b+2b=4b
∴A(α-β)=4b-4b=0
∴α-β是Ax=0的解
即 Ax=0的基础解系中仅含的一个解向量为
α-β=(0，4，6，8)^T
有A·1/4β=b
∴ 1/4β=(1/2，0，0，0)^T 是原方程组的一个特解，
根据解的结构，
原方程的通解为
x=C(0，4，6，8)^T+(1/2，0，0，0)^T