一道大学线性代数题
设A是一个(n-1)xn矩阵,令Mj为在矩阵A中划去第j（j=1,2,…，n)列元素后所得的n-1阶行列式。(1)证明β=[M1,-M2,…。（-1）^(n+1)Mn]T...
设A是一个(n-1)xn矩阵,令Mj为在矩阵A中划去第j（j=1,2,…，n)列元素后所得的n-1阶行列式。
(1)证明β=[M1,-M2,…。（-1）^(n+1)Mn]T是齐次线性方程组AX=0的一个解；
（2）若R（A)=n-1,则线性方程组AX=0有无穷多解，并求其通解。 展开
(1)证明β=[M1,-M2,…。（-1）^(n+1)Mn]T是齐次线性方程组AX=0的一个解；
（2）若R（A)=n-1,则线性方程组AX=0有无穷多解，并求其通解。 展开
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只需要证明对每个k而言A的第k行和β的乘积等于0
利用行列式的定义，在A上面补上A的第k行构成的n阶行列式就是上面提到的乘积
（可以顺便复习一下Cramer法则以及伴随矩阵的基本性质A adj(A) = adj(A) A = det(A)I）
第二题没什么好说的
利用行列式的定义，在A上面补上A的第k行构成的n阶行列式就是上面提到的乘积
（可以顺便复习一下Cramer法则以及伴随矩阵的基本性质A adj(A) = adj(A) A = det(A)I）
第二题没什么好说的
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追问
第一问没懂，补第k行，第k行是哪一行？第二题能详细说说吗？不然不能采纳
追答
比如说A是3x4的
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
A的第2行和beta的乘积就是下面矩阵的行列式
a21 a22 a23 a24 <- 补第k行
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
第二题真没什么好说的，直接用第一题的结论，不会做应该自己反省
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