设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且f(0)=0.证明:
利用定积分的柯西-许瓦茨不等式，可得|f(1)|小于等于右边的定积分，不等式恒成立则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分。
令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ
下面用反证法证明 ξ 只有一个
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0
由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误
因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。
利用定积分的柯西-许瓦茨不等式，可得|f(1)|小于等于右边的定积分，不等式恒成立则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分。
柯西-施瓦茨不等式是一个在众多背景下都有应用的不等式，例如线性代数，数学分析，概率论，向量代数以及其他许多领域。
它被认为是数学中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。
导数求导注意：
1、利用导数定义计算导数，需注意分子分母变量上的对应。
2、某点处导数存在，则左右导数均存在且相等。
3、某点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率值，法线过该点且与切线垂直。
利用定积分的柯西-许瓦茨不等式
可得|f(1)|小于等于右边的定积分
不等式恒成立
则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分
过程如下：
谢谢你的回答，但是图片倒数第二行和倒数第四行，推不出结论吧？除非倒数第二行符号反向。
根据柯西不等式
可得，|f(1)|小于等于定积分恒成立
对应任意的|f(1)|，不等式都要成立
则，|f(1)|的最大值小于等于定积分
f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)
f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)
两式相加得
∴2f(x)＝（2x-1)f'(x)
即f(x)=(x-1/2)f'(x)且0≤x≤1
∴l∫ f(x)dx l= l∫ (x-1/2)f'(x)dx l≤ ∫ |(x-1/2)f'(x)| dx= 1/2 ∫ |f’(x) |dx
