Question

高等数学，积分求解

Answer 1

I = ∯<∑>(4x^2+12xy+9y^2+36z^2-12z+1)dS
= ∯<∑>[36(x^2/9+y^2/4+z^2)+1+12xy-12z]dS
= ∯<∑>[37+12xy-12z]dS = 37A
因积分区域关于坐标轴平面对称，奇函数 12xy-12z 积分为 0

追问

关于哪个平面对称的话，12xy积分为0啊？为什么啊

追答

∯ xy dS = ∫∫ xy√[1+(z')^2+(z')^2]dxdy
积分域 Dxy 为椭圆 x^2/9+y^2/4=1, 关于 y 轴对称，
√[1+(z')^2+(z')^2] 是 x 的偶函数，xy 是 x 的奇函数，
则积分为 0