Question

一道高二数学题

已知函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围。

希望大家帮帮忙！

Answer 1

解：函数f(x)=4x²-2(p-2)x-2p²-p+1
=[2x+(p+1)][2x-(2p-1)].
∴函数f(x)的两个零点为：
X1=-(p+1)/2, x2=(2p-1)/2.
数形结合可知，当x1≤-1＜1≤x2时，
或当x2≤-1＜1≤x1时，
函数f(x)在区间[-1,1]上，恒有f(x) ≤0.
【1】不等式x1≤-1＜1≤x2就是：-(p+1)/2≤-1＜1≤(2p-1)/2.
解得：p≥3/2.
【2】不等式x2≤-1＜1≤x1就是：（2p-1）/2≤-1＜1≤-(p+1)/2
解得：p≤-3.
综上可知，在区间(-∞,-3] ∪[3/2,+ ∞）上，恒有f(x) ≤0.
∴在区间(-3,3/2)上，至少存在一个实数c,满足f(c) ＞0.
∴p∈(-3,3/2).

Answer 2

f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1
开口向上，在区间上只要两个端点的值有一个大于0，那么在 就肯定存在c，使得 f(c)>0
f(1)=4-2(p-2)-2p^2-p+1=9-3p-2p^2>0
(2p-3)(p+3)<0
所以 -3<p<3/2
f(-1)=4+2(p-2)-2p^2-p+1=p-2p^2+1>0
即 (p+1)(2p-1)<0
所以 -1<p<1/2
只要有一个点的值大于0，就会存在满足要求的c点，所以p的范围是它们的并集，所以：
p∈(-3,3/2)

Answer 3

答案是：p>1或p<-2。
假设f(x)>0在[-1,1]无解。则f(-1)<=0,且f(1)<=0。
代入方程，求出p的取值范围是-2<=p<=1。
所以取反，即开始的答案。