Question

高数大神帮帮忙，第2和4大题

Answer 1

中间有些步骤省略了

Answer 2

你不是做出来了吗，过程不知道还是怎么？
2、（1）设截距为b，则(b-y)/x=-y′，又√(x²+y²)=b=-xy′+y。即y′-y/x=-√(1+y²/x²)
这是一阶线性非齐次方程。令z=y/x，即y=xz
则dy/dx=xdz/dx+z，代入原方程得：xdz/dx=-√(1+z²)
所以dz/√(1+z²)=-dx/x，两边积分得：ln[z+√(1+z²)]=-(lnx-lnC)=-lnx+lnC=-ln(x/C)。
即z+√(1+z²)=-x/C，所以√(1+z²)=-x/C-z，两边平方得：1=x²/C²+2xz/C，将y=xz代入得：
1=x²/C²+2y/C，又曲线过(1/2，0)，所以1=1/4C²，所以C=1/2，所以y=1/4-x²。
（2）由（1）可知，该切线在y轴上截距为-xy′+y=1/4+x²，在x轴上截距为-y/y′+x=(1/4+x²)/2x
所以面积S=(1/4+x²)²/4x，令S′=0，得：3x²=1/4，所以x=√3/6。所以y=1/6，y′=-2x=-√3/3
所以该切线方程为y-1/6=(-√3/3)(x-√3/6)，即y=(-√3x/3)+1/3。