Question

求第二问答案

Answer 1

2、这是一道很早的题目，形式有多种，方法只有一种
设x1、x2为方程的0点，条件中有一个a属于K,我不知道这个K代表什么集合，只能猜测为自然数集合，故a>0
g(x1)=x1+alnx1-kx1²=0
g(x2)=x2+alnx2-kx2²=0
两式相减：得 -k(x2-x1)+1=-a(lnx2-lnx1)/(x2-x1) *
求g(x)的导数：g'(x)=a/x-2kx+1
则：g'[(x2-x1)/2]=2a/(x2-x1)-k(x2-x1)+1 代入*式
g'[(x2-x1)/2]=2a/(x2-x1)-a(lnx2-lnx1)/(x2-x1)
化简后为：g'[(x2-x1)/2]=a/(x2-x1)*[2(x2-x1)/(x2+x1)-lnx2/x1]
=a/(x2-x1)*[2(x2/x1-1)/(x2/x1+1)-lnx2/x1]
设u(t)=2(t-1)/(t+1)-lnt,我们求这个函数的极值
求导：u'(t)=（-t²-1）/(t+1)²<0，函数为减函数
当x2>x1时，由于t=x2/x1,所以t>1
则u(t)>u(1)=0 所以g'[(x2-x1)/2]=a/(x2-x1)*u(t)>0
当x2<x1时，无法求极值，但可以判断0>2(t-1)/(t+1)>lnt
同时考虑到x2-x1<0
故g'[(x2-x1)/2]>0