Question

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。 反例:由以上定义得，调和级数1+1/2+1/3+…+1/

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。
反例:由以上定义得，调和级数1+1/2+1/3+…+1/n+…
它部分和数列每一项都小于等于1，部分和数列有界，所以调和级数收敛。
但调和级数是发散的。这是怎么回事，哪一步出了问题？

Answer 1

你的错误在于没搞清楚，什么叫做部分和数列有界。
1+1/2+1/3+…+1/n+…这是个级数
其部分和为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n
所以部分和数列就是由
S1，S2，S3，S4……Sn……组成的数列
而不是由一般项1；1/2；1/3；…1/n……组成的数列
而S1，S2，S3，S4……Sn……这个数列当然是无界的啦。
概念一定要搞清楚。
你说的数列1；1/2；1/3；…1/n……是一般项数列
而部分和数列是由S1，S2，S3，S4……Sn……组成的数列

Answer 2

1、正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。这句是对的。
2、调和级数1+1/2+1/3+…+1/n+…
它部分和数列每一项都小于等于1，但是无穷个1相加，仍然是无穷大。不是有界的！
你的说法是错误的。
3、调和级数是发散的。

Answer 3

有界是小于常数，而调和级数的部分和跟n有关，且递增，并非有界

追问

那可不可以说部分和数列无界，级数就发散？

追答

当然

Answer 4

部分和数列每一项都小於等於1???你在搞笑?
S1=a1=1
S2=a1+a2=1+1/2=3/2
S3=a1+a2+a3=1+1/2+1/3=11/6
...
这叫做小於等於1?