Question

高中数学均值不等式题求解（麻烦详细讲一下，谢谢~）

a>0.b>0,a+b=2

下列不等式是否恒成立的？
√a+√b>=√2
a^3+b^3>=3
1/a + 1/b >=2

谢谢~

Answer 1

基本的均值不等式应该知道吧在ab均为正的情况下a+b不小于2√（ab）
那么在此题设下由于a+b=2 就有0<a*b<=1
1.考察（√a+√b）^2 =a+b+2√（ab）=2+2√（ab）>2
所以√a+√b>=√2成立
2.考察8=（a+b）^3=a^3+b^3+3a^2*b+3b^2*a=a^3+b^3+3(a+b)*a*b=a^3+b^3+6*a*b<=a^3+b^3+6
所以a^3+b^3>=2
由于式子可能取到2或者[2,3)之间某个数 所以不是恒成立
事实上观察到a=b=1的时候就可以轻易得出答案了 此时a^3+b^3=2<3
3.1/a + 1/b
采用通分 分子a+b=2 分母a*b是一个小于等于1的正数 可以得到3式恒成立（可以画出反比例的图像来帮助确认）
以上~