Question

求解一道数学题(请写出简要过程)

已知关于x,y的方程：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）当为何值时，此方程表示圆
（2）在（1）的条件下若圆C与直线L：x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=4/√5，求m的值 （大家请教教我，我很想把数学学好，谢谢大家了）

Answer 1

（1）x²+y²-2x-4y+m=0可以化成
(x-1)²+(y-2)²=5-m
要表示圆，所以5-m＞0
即m＜5
（2）只要求出圆C的半径即可。画图分析。
记圆心为点P(1,2)，过点P做直线L的垂线PQ，垂足为Q。
只要求出了PQ的长度，又易知QM=2/√5，那么半径PM的长度很好求。
求PQ的长度，只要求出Q点坐标；
Q点是直线PQ和直线L的交点，只要求出直线PQ的方程，
根据直线L的斜率是-1/2可知直线PQ的斜率为2，又根据它过点P(1,2)，可求出其表达式y=2x。然后将y=2x与x+2y-4=0联立可以求出Q的坐标(4/5,8/5)。进而求得PQ=1/√5。进而求得PM=1。进而5-m=1，所以m=4。

Answer 2

解： 我来告诉你这题最简便的方法吧，以后碰到相似的题目也可以采取这个方法的。
（1）先将方程配方得：(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)+m-5=0即(x-1)^2+(y-2)^2=5-m，要使得这个方程为圆必须半径大于0，所以√（5-m）>0，也就是5-m>0即m<5。
（2）x+2y-4=0与圆相交于M,N两点，且|MN|=4/√5，过圆心C（1,2）作MN的垂线设垂足为A，在RT△CAM中，AM=2/√5，若求出CA，则可求出半径r也就是CM，根据点到直线距离的公式得：CA=|1+2*2-4|/√(1^2+2^2)=1/√5，所以勾股定理得：r=√(AM^2+CA^2)=√[(2/√5)^2+(1/√5)^2]=1，所以√（5-m）=1，解得m=4。
第二小问还有另外一种方法，将直线L方程x+2y-4=0代入圆的方程x2+y2-2x-4y+m=0可得到：(4-2y)^2+y^2-2(4-2y)-4y+m=0，整理得：5y^2-16y+(m+8)=0。设M（x1，y1），N（x2，y2），
|MN|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=√{[4-2y2-(4-2y1)]^2+(y2-y1)^2}=√5*√(y2-y1)^2=√5*√(y2+y1)^2-4y1y2，根据根与系数的关系，y2+y1=16/5，y1y2=(m+8)/5，代入得:|MN=|√5*√[(16/5)^2-4(m+8)/5]=4/√5，解得：m=4.