Question

A.B为圆O上一点,AC是弦,CD是圆O的切线,C为切点,AD垂直于CD于点D,若AC为角BAD的平分线.

求证;AB为圆O的直径.

Answer 1

由AD⊥CD得，∠DAC+∠DCA=90°
AC平分∠BAD得，∠DAC=∠BAC
DC和圆相切得，∠DCA=∠ABC
推出：∠BAC+∠ABC=90°，
则 在三角形ACB中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=90°
在圆内，弦为直径时所对夹角为90°
则AB为圆O的直径

Answer 2

证明： （1）连接BC，作直径CE，连接AE ∵CD是⊙O的切线 ∴OC⊥CD ∴∠ACE+∠E=∠ACE+∠ACD=90° ∴∠ACD=∠E=∠B ∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB ∴∠B+∠CAB=90° ∴∠ACB=90° ∴AB是⊙O的直径 （2） ∵∠ACD=∠B，∠BAC=∠DAC ∴△ABC∽△ACD ∴AB/AC=AC/AD ∴AC²=AB*AD