Question

一道高中数学几何题，有图像

一个球，半径为1，里面一个正四面体OABC（凌为1），O为球的圆心也是正四面体的顶点，A.B.C在球面上，求几何体OABC（包括正四面外面的弧）的体积
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不是啊，楼一兄弟你求的是圆锥的体积啊，下面有个圆弧盖啊，而且你求的是圆的面积，扩大了吧

Answer 1

首先看正四面体的体积：
对于正四面体有如下结论最好记住：
棱长为a的正四面体：(1)高位a√6/3(即三分之根号六倍a)-此题中用该结论较方便；
(2)外接球半径为a√6/4(即四分之根号六倍a)
(3)内切球半径为a√6/12(即十二分之根号六倍a).
由结论(1)该题中正四面体的高为√6/3，所以其体积为
(1/3)( √3/4)( √6/3)= √2/12
然后底面ABC下面的其实是一个球冠，球冠的体积公式如下(这个知识点应该超纲了)：
V= h (2兀/3)R^2 其中h为球冠的高，R为球冠所在球的半径
此题中球冠的高=球的半径-正四面体的高=1-√6/3
所以球冠的体积=(1-√6/3) (2兀/3)= 兀(6-2√6)/9
因此总体积=√2/12+兀(6-2√6)/9

Answer 2

正四面体的每一个面都是边长为R的正三角形，正三角形的面积公式是S=（√3/4）R²。 正四面体的斜高是：h斜=(√3)/2. 面边心距r=√3/6. 正四面体的高是：h=√6/3. 正四面体的体积是：V1=(1/3)(S⊿ABC)h=(1/3)(√3/4).(√6/3)=√2/12。再看三角形ABC下面的球冠的底面，它是正三角形ABC的外接圆，其半径r=√3/3，而球冠的高是：h=(1-√6/3).故球冠的体积是：V2=(2/3)[πR²]h(球冠）=（2/3）[π（√3/3）²](1-√6/3)=(6-2√6)π/27，所以所求几何体的体积是V=V1+V2=（√2/12）+[(6-2√6)π]/27。

Answer 3

高为根号6除3
ABC所在圆半径为 根号3除3，面积为 兀|3
体积为 二十七分之根号6乘兀