Question

关于圆的一道数学题，高手进！

如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，求tan∠BPD的值。

Answer 1

解：连BD,连CO交圆O于E,连DE，
因为AB为半圆O的直径，
所以∠ADB=90,
所以tan∠BPD=BD/DP=cot∠DBP,
又∠DBP=∠E,
所以tan∠BPD=cot∠DBP=cot∠E=DE/CD,
在直角三角形CDE中，CE=AB=4,CD=3,
由勾股定理，DE=√7，
所以tan∠BPD=cot∠DBP=cot∠E=DE/CD=√7/3

Answer 2

因为BD是圆O的弦，因此∠BAD=∠BCD；同理，∠ABC=∠ADC，因此三角形APB与三角形CPD相似，PD:PB=CD:AB=3:4
cos∠BPD=PD:PB=3/4
因此sin∠BPD=根号[1-(cos∠BPD)^2]=(根号7)/4
因此tan∠BPD=（sin∠BPD）/（cos∠BPD）=(根号7)/3

Answer 3

∠ADB=90°，则∠CBD+∠BPD=90°
AB=4，则圆的半径R=2
由正弦定理 CD/sin∠CBD=2R
所以3/sin∠CBD=4，得sin∠CBD=3/4，于是cos∠CBD=√7/4
tan∠CBD=3/√7，cot∠CBD=√7/3
所以tan∠BPD=tan(90°-∠CBD)=cot∠CBD=√7/3