在线性代数中，向量的秩与其维数有何关系
向量的维数和秩无关，维数之和向量本身有关，但是秩总是小于等于维数。
秩是向量组的最大线性无关组的容量，维是其每个向量的分量个数。
例如向量组A＝｛（x1,x2,x3）|x1＝x2＝x,x3＝y.x,y∈R｝。
则A的秩＝2 ，[｛（1,1,0）,（0,0,1）｝是它的一个最大线性无关组]。
A的维数是3。
矩阵的秩
有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
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2024-10-28 广告
设有n个向量a1，a2，an（都是m维），如果他们线性无关，那么n个向量组成的向量组的秩就是n。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk（A） 或 rank A。
扩展资料：
线性无关和线性相关的性质：
1、对于任何向量集合，都是线性无关或线性相关的。
2、如果向量群只包含一个向量A，且A是0向量，则A是线性相关的；如果a不等于0，那么a是线性无关的。
3、任何包含0向量的向量集合都是线性相关的。
4、包含相同向量的向量集合必须是线性相关的。
5、在不改变向量相关性的情况下，增加向量的数量。（注意原来的向量集是线性相关的）
6、在不改变向量独立性的情况下减少向量的数量。（注意原来的向量集是线性无关的）
7、如果一组向量是线性无关的，那么通过在同一位置添加一个分量得到的新向量集仍然是线性无关的。
8、如果一个向量组是线性相关的，那么移除相同位置的一个分量后得到的新向量组仍然是线性相关的。
维数之和向量本身有关，
但是秩总是小于等于维数。
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