Question

lim(x->+∞)[(1+1/x)^(x^2)-e^x]/x

海天 方浩在高数第三讲里的题目

Answer 1

=lim(e^(x²ln(1+1/x))-e^x)/x
=lime^x(e^(x²ln(1+1/x)-x)-1)/x
=lim(x²ln(1+1/x)-x)/xe^(-x)
=lim(xln(1+1/x)-1)/e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)+x(-1/x²)/(1+1/x))/-e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)-1/(1+x))/-e^(-x)
=lim(-1/x(1+x)+1/(1+x)²)/e^(-x)
=lim-e^x/x(1+x)²
=-∞

Answer 2

lim[(1+1/x)^(x^2)-e^x]/x
=lim[(1+1/x)^(x^2)/x]-lim e^x/x
=e-∞
=-∞

Answer 3

引用laziercdm的回答：
=lim(e^(x²ln(1+1/x))-e^x)/x
=lime^x(e^(x²ln(1+1/x)-x)-1)/x
=lim(x²ln(1+1/x)-x)/xe^(-x)
=lim(xln(1+1/x)-1)/e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)+x(-1/x²)/(1+1/x))/-e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)-1/(1+x))/-e^(-x)
=lim(-1/x(1+x)+1/(1+x)²)/e^(-x)
=lim-e^x/x(1+x)²
=-∞

=lim{[（1+1/x）^x]^x-e^x}/x=lim(e^x-e^x)/x=0
x-oo

Answer 4

不是只有当f(x)->0时，才有e^f(x)-1~f(x)
当x->∞时，x²ln(1+1/x)-x ->0 吗？

Answer 5

引用laziercdm的回答：
=lim(e^(x²ln(1+1/x))-e^x)/x
=lime^x(e^(x²ln(1+1/x)-x)-1)/x
=lim(x²ln(1+1/x)-x)/xe^(-x)
=lim(xln(1+1/x)-1)/e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)+x(-1/x²)/(1+1/x))/-e^(-x)
=lim(ln(1+1/x)-1/(1+x))/-e^(-x)
=lim(-1/x(1+x)+1/(1+x)²)/e^(-x)
=lim-e^x/x(1+x)²
=-∞

倒数第三行求导有问题