Question

二元函数的连续性

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

不连续。当x趋于0且y趋于0时，limf(x,y)=lim(x^2+y^2)sin(1/x^2+y^2)=lim1=1
而x=0且y=0时f(x,y)=0，不相等，故而函数在该点不连续

追问

答案是连续

追答

limf(x,y)=lim(x^2+y^2)sin(1/x^2+y^2)≤lim(x^2+y^2)=0
limf(x,y)≥0
所以f(x,y)在(0,0)处 的极限是0，即在该点连续
我也不知道我的证明方法正不正确，不过之前做错了不好意思哈

追问

可不可以用有界乘无穷小等于无穷小这个性质

追答

这么一说倒也可以啊，其实我的证明过程也差不多是这个意思

追问

好的，谢谢哦

Answer 3

当x趋于0且y趋于0时，lim(x^2+y^2)=0
而sin(1/x^2+y^2)是一个有界量，
0*有界量为零
所以函数在（0，0）处极限为零，在此点连续
这样的问题要深刻理解定义，希望能帮到你。