在椭圆x^2+8y^2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.求出点P的坐标
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即x²/8+y²=1
所以不妨令x=2√2cosθ，y=sinθ
所以P到直线距离d=|2√2cosθ-sinθ+4|/√(1²+1²)
=|3sin(θ-α)+4|/√2
其中tanα=1/(2√2)
所以sin(θ-α)=-1时d最小
此时θ-α=-π/2
tanθ=tan(α-π/2)
=-cotα
=-1/tanα
=-2√2
所以sinθ=2√2/3，cosθ=-1/3
所以P(-2√2/3，2√2/3)
所以不妨令x=2√2cosθ，y=sinθ
所以P到直线距离d=|2√2cosθ-sinθ+4|/√(1²+1²)
=|3sin(θ-α)+4|/√2
其中tanα=1/(2√2)
所以sin(θ-α)=-1时d最小
此时θ-α=-π/2
tanθ=tan(α-π/2)
=-cotα
=-1/tanα
=-2√2
所以sinθ=2√2/3，cosθ=-1/3
所以P(-2√2/3，2√2/3)
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追问
答案是(8/3,1/3)
追答
哦，我确实错了，改一下
即x²/8+y²=1
所以不妨令x=2√2cosθ，y=sinθ
所以P到直线距离d=|2√2cosθ-sinθ+4|/√(1²+1²)
|sinθ-2√2cosθ-4|/√(1²+1²)
=|3sin(θ-α)-4|/√2
其中tanα=2√2
所以sin(θ-α)=1时d最小
此时θ-α=π/2
tanθ=tan(α+π/2)
=-cotα
=-1/tanα
=-1/2√2
所以sinθ=1/3，cosθ=-2√2/3
所以P(-8/3，1/3)
不过答案也不对
请采纳吧
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