Question

求曲面所围成的体积

Answer 1

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,我们得到： 2-x2=x2+2y2 即 x2+y2=1 所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x2+y2=1 要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x2+y2x2+2y2,即z=2-x2在上面,z=x2+2y2在下面. 根据上面的讨论,我们就可以写出体积分： V=∫∫dxdy∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz 这里我用符号_(x2+2y2)来表达z积分的下限,^(2-x2)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x2+y2=1.) 对z的积分很容易： ∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz=(2-x2)-(x2+2y2)=2-2x2-2y2 剩下的就是对xy的两重积分. V=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy 这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x2+y2=r2,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π. V=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy=∫_0^1(2-2r2)rdr∫_0^(2π)dφ 两个积分各为： ∫_0^(2π)dφ=2π ∫_0^1(2-2r2)rdr=r2-(1/2)r^4|_0^1=1/2 V=(1/2)2π=π 所以体积是π.

追问

答案是20π/3