Question

高一数学问题,在线等!!

1.平面内有向量OA=(1,7),向量OB=(5,1),向量OP=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点. 1)当向量QA·向量QB取最小值时,求向量OQ的坐标; 2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值. 2.( 图片地址:http://hiphotos.baidu.com/%C7%E0%C4%FB%B0%AE%C8%CB/pic/item/16da47200bd0a278d5074288.jpg
图中模糊处: 向量AF=n向量AC，m,n∈(0,1) 1)若A,M,N三点共线,求证:m=n.
我待会儿会用手机查看，所以请不要发图..务必要让我的手机能准确读出..
麻烦了..!!

Answer 1

（1）设点Q（2y，y），则向量QA=（1-2y，7-y)，向量QB=（5-2y，1-y)，
则向量QA·向量QB=5y²-20y+12=5(y-2)²-8,当且仅当y=2时取最小值，故向量OQ=（4，2）
(2)容易求得QA,=34½，QB=2½，AB=52½，利用余弦定理得
cos∠AQB=（QA²+QB²-AB²)/2QA·QB=4/17倍根号下17
2.(1)证明:向量AM=1/2（向量AE+向量AF)=1/2(mAB+nAC)(向量二字省去）
同理，AN=1/2(AB+AC),因为A,M,N共线，故存在λ，使得AM=λAN
即1/2（mAB+nAC）=1/2λ（AB+AC），得λ=m,且λ=n，即m=n
(2)向量MN=向量AN-向量AM=（1-m)/2AB+(1-n)/2AC,∵AB的模等于AC的模等于1，
故向量MN的模的平方=(m-1)²/4+（n-1)²/4+(m-1)(n-1)/4
=(m²+n²+mn-3m-3n+3)/4
=[（m+n）²-mn]/4-3(m+n-1)/4
∵E、F在AB、AC上，∴m、n＞0,
又m+n=1,∴mn≤1/4,∴原式=（1-mn)/4≥3/16,故 向量MN的模的最小值为（根号3）/4