(x+3)/(x2+2x+3)^2的不定积分
解答：
x^2+2x+3 = (x+1)^2 +2
let
x+1 =√2tanu
dx = √2(secu)^2 .du
∫ (x+3)/(x^2+2x+3)^2 dx
=(1/2) ∫ (2x+2)/(x^2+2x+3)^2 dx + 2∫ dx/(x^2+2x+3)^2
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +2∫ dx/(x^2+2x+3)^2
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +2∫ √2(secu)^2 .du/[ 4(secu)^4]
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/2)∫ (cosu)^2 du
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4)∫ (1+cos2u) du
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4)[ u +(1/2)sin2u] +C
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4){arctan[(x+1)/√2] +√2(x+1)/(x^2+2x+3) } +C
x+1 =√2tanu
sinu = (x+1)/√(x^2+2x+3)
cosu =√2/√(x^2+2x+3)
扩展资料：
万能公式，可以把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式之类的。用了万能公式之后，所有的三角函数都用tan(a/2)来表示，为方便起见可以用字母t来代替，这样一个三角函数的式子成了一个含t的代数式，可以用代数的知识来解。万能公式，架起了三角与代数间的桥梁。
具体作用含有以下4点：
将角统一为α/2；
将函数名称统一为tan；
任意实数都可以表示为tan(α/2)的形式（除特殊），可以用正切函数换元；
在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。
总结：
因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。而被称为万能公式的原因是利用的代换可以解决一些有关三角函数的积分。参见三角换元法。
(x+3)/(x²+2x+10)
dx
=∫
(x+1+2)/(x²+2x+10)
dx
=(1/2)∫
(2x+2)/(x²+2x+10)
dx
+
2∫
1/(x²+2x+10)
dx
=(1/2)∫
1/(x²+2x+10)
d(x²+2x)
+
2∫
1/[(x+1)²+9]
dx
=(1/2)ln(x²+2x+10)
+
(2/3)arctan[(x+1)/3]
+
c
【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。
let
x+1 =√2tanu
dx = √2(secu)^2 .du
-----------
∫ (x+3)/(x^2+2x+3)^2 dx
=(1/2) ∫ (2x+2)/(x^2+2x+3)^2 dx + 2∫ dx/(x^2+2x+3)^2
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +2∫ dx/(x^2+2x+3)^2
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +2∫ √2(secu)^2 .du/[ 4(secu)^4]
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/2)∫ (cosu)^2 du
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4)∫ (1+cos2u) du
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4)[ u +(1/2)sin2u] +C
=-(1/2) [1/(x^2+2x+3)] +(√2/4){arctan[(x+1)/√2] +√2(x+1)/(x^2+2x+3) } +C
---------------
x+1 =√2tanu
sinu = (x+1)/√(x^2+2x+3)
cosu =√2/√(x^2+2x+3)
耐心看完
