Question

求函数y＝√x+√1-x的值域，运用换元法，谢谢！

Answer 1

y=√x+√(1-x)，
取值范围x≥0，且1-x≥0，即0≤x≤1，
所以设x=sin²α，
y=√x+√(1-x)=|sinα|+|cosα|，
0°≤α<90°时，y=sinα+cosα=√2sin(α+45°)，45°≤α+45°<135°，1≤y≤√2；
90°≤α<180°时，y=sinα-cosα=√2sin(α-45°)，45°≤α-45°<135°，1≤y≤√2；
180°≤α<270°时，y=-sinα-cosα=-√2sin(α+45°)，225°≤α+45°<315°，1≤y≤√2；
270°≤α<360°时，y=-sinα+cosα=-√2sin(α-45°)，225°≤α-45°<315°，1≤y≤√2；
综上，值域y∈[1,√2]

追问

为什么sinα-cosα＝√2sin(α-45º)