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求y=x+√(1-x^2)的值域 用换元法 谢谢
3个回答
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解:(本方法数形结合,易于理解,方便掌握,希望你能深刻体会)
先求定义域:1-x^2>=0 得到 -1=<x<=1
设m=x ,n=√(1-x^2) 可知 -1=<m<=1 ,n>=0
这样原函数化为y=m+n 且m^2+n^2=1, -1=<m<=1,n>=0
现在可知这相当于一个线性规划,只不过把平常的平面可行域换成了一个上半圆
那么运用跟平常线性规划一样的方法,n=-m+y,画画图,可知
当直线与圆相切时,y有最大值√2
当直线过左边端点时,y有最小值-1
综上,y的取值范围是[-1,√2]
本题也可以采用三角换元,再限定角范围利用三角函数来求,但本质是一样的
还有不懂的请 h i 我,学习愉快^_^
先求定义域:1-x^2>=0 得到 -1=<x<=1
设m=x ,n=√(1-x^2) 可知 -1=<m<=1 ,n>=0
这样原函数化为y=m+n 且m^2+n^2=1, -1=<m<=1,n>=0
现在可知这相当于一个线性规划,只不过把平常的平面可行域换成了一个上半圆
那么运用跟平常线性规划一样的方法,n=-m+y,画画图,可知
当直线与圆相切时,y有最大值√2
当直线过左边端点时,y有最小值-1
综上,y的取值范围是[-1,√2]
本题也可以采用三角换元,再限定角范围利用三角函数来求,但本质是一样的
还有不懂的请 h i 我,学习愉快^_^
追问
用简单一点的换元法啊 就将√下的数假设为t 再求
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由√(1-x^2)得 1-x²≥0 -1≤x≤1
令sinα=x α∈【-π/2,π/2】则
y=sinα+√(1-sin²α)
=sinα+|cosα|
=sinα+cosα
=√2×√2/2sinα+√2×√2/2cosα
=√2sin(α+π/4)
最大值为α=π/4时得√2,最小值为α=-π/2时 为-1,值域【-1,√2】免费数学习题试题学习下载math.jxt123.网com
令sinα=x α∈【-π/2,π/2】则
y=sinα+√(1-sin²α)
=sinα+|cosα|
=sinα+cosα
=√2×√2/2sinα+√2×√2/2cosα
=√2sin(α+π/4)
最大值为α=π/4时得√2,最小值为α=-π/2时 为-1,值域【-1,√2】免费数学习题试题学习下载math.jxt123.网com
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y=x+√(1-x^2)
x=cosu 且0<u<180
y=cosu+sinu
=√2sin(u+45)
u=45,y=√2
u=180度时,y=-1
-1<=y<=√2
值域[-1,√2]
x=cosu 且0<u<180
y=cosu+sinu
=√2sin(u+45)
u=45,y=√2
u=180度时,y=-1
-1<=y<=√2
值域[-1,√2]
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