Question

定积分换元积分法推导过程

如图 标红等式的详细推导步骤是什么 谢谢

Answer 1

let
x=ψ(t)
dx = ψ'(t) dt
x=a, t=ψ^(-1)(a) = α
x=b, t=ψ^(-1)(a) = β
∫(a->b) f(x) dx
= ∫(α->β) f(ψ(t)) ψ'(t) dt

追问

大哥，这最后导数第二步到导数第一步的详细步骤，或者说a和b是怎么换成α和β的；直接通过反函数么，看不懂呀；

追答

x=ψ(t)
x=a
a=ψ(t0)
t0=ψ^(-1)(a) ( ψ^(-1) : ψ 的反函数)
b=ψ(t1)
t1=ψ^(-1)(b)
∫(a->b) f(x) dx
= ∫(ψ^(-1)(a) ->ψ^(-1)(a)) f(ψ(t)) ψ'(t) dt
=∫(α->β) f(ψ(t)) ψ'(t) dt

追问

因为x=ψ(t)，a=ψ(α), ψ^(-1)(a) = α; b=ψ(β)， ψ^(-1)(b) = β;
所以∫(a->b) f(x) dx
= ∫(ψ(α) ->ψ(β))f(ψ(t)) ψ'(t) dt
又因为∫(a->b) f(x) dx
= ∫(ψ^(-1)(a) ->ψ^(-1)(a)) f(ψ(t)) ψ'(t) dt
所以ψ^(-1)(a)=ψ(α)
α=a；我理解的反函数用错了？头疼