Question

利用级数收敛的必要条件证明：lim(2n)!/a^(n!)=0 (a>1).

一楼怎么说明(2n+2)(2n+1)/a^(n+1)<1 我就这块没想明白 要不就不问了

Answer 1

An=(2n)!/a^(n!)
A1=2/a
易知An>0
又
A(n+1)/An=(2n+2)(2n+1)/a^(n+1)
存在N使得当n>N(足够大时)
A(n+1)/An=(2n+2)(2n+1)/a^(n+1)<1
注：a>1 => a=1+b
a^(n+1)=(1+b)^(n+1)=1+b*(n+1)+b^2*(n+1)n/2+b^3*(n+1)n(n-1)/6+...
(2n+2)(2n+1)/[b^3*(n+1)n(n-1)]->0
那么An有下界0，且当n>N时An递减
故An收敛。
又lim A(n+1)/An=lim (2n+2)(2n+1)/a^(n+1)=0
知An的下确界必为0，不然lim A(n+1)/An=1

Answer 2

An=(2n)!/a^(n!)
A1=2/a
易知An>0