Question

复变函数积分的一道证明题？

如图

Answer 1

令z=e^iθ,则dθ=dz/iz,当θ从0变化到2π时,z绕单位圆周一圈
∴原式=∫(|z|=1) (1+z+1/z)/(5+2z+2/z)*dz/iz
=1/i*∫(|z|=1) (z²+z+1)/z(2z²+5z+2)*dz
=1/2i*∫(|z|=1) dz/z-1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+1/2)+1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+2)
由柯西积分公式,1/2i*∫(|z|=1) dz/z=π,1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+1/2)=-π
由柯西积分定理,1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+2)=0
於是原式=π-π+0=0

Answer 2

思路：首先由Cauchy积分公式知道∫(e^z)/(z^2)dz＝2pi*i。
其次，将上面的积分中令z＝e^(it)，－pi<=t<=pi，dz＝e^(it)*i*dt，
代入可得2pi*i＝∫(e^z)/(z^2)dz＝i*∫（从－pi到pi）(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt+实部
分离虚部并注意到对称性可得
2pi＝2∫（从0到pi）(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt
然后对∫（从0到pi）(e^cost)sin(sint)sintdt 分部积分
＝－∫（从0到pi）sin(sint)d(e^(cost))
＝∫（从0到pi）(e^cost)cos(sint)costdt
由此可得结论。