Question

高数问题求解呀3

求解题过程，谢谢

Answer 1

求曲面 x²+2y²+3z²=21平行于平面 x+4y+6z=0的切平面方程；
解：曲面方程：F(x，y，z)=x²+2y²+3z²-21=0
∂F/∂x=2x； ∂F/∂y=4y； ∂F/∂z=6z；则过曲面上的点M(xo，yo，zo)的切平面的方程为：
2xo(x-xo)+4yo(y-yo)+6zo(z-zo)=0
即2xox+4yoy+6zoz-(2xo²+4yo²+6zo²)=0..........①
切平面①与平面x+4y+6z=0平行，因此它们的法向矢量平行，即有 2xo/1=4yo/4=6zo/6=m
即有2xo=yo=zo=m，故xo=m/2，yo=m，zo=m；(xo，yo，zo)在曲面上，代入曲面方
程，得：m²/4+2m²+3m²=(21/4)m²=21，∴m²=4，m=±2；故xo=±1，yo=±2，zo=±2;
将(1,2,2)代入①式即得一张切平面方程为：2x+8y+12z-(2+16+24)=2x+8y+12z-42=0;
化简系数得 x+4y+6z-21=0.........(A)；
再将(-1,-2,-2)代入①式另一张切平面方程为： -2x-8y-12z-42=0；
化简系数得：x+4y+6z+21=0.........(B)；
A和B都是所要求的切平面方程。

Answer 2

令F(x)=x^2+2y^2+3z^2-21 
则（Fx,Fy,Fz）=（2x,4y,6z)‖（1,4,6） 
y=z=2x 
代入x^2+2y^2+3z^2=21中解得x=±1 
进而切点坐标为±（1,2,2）
法向量可取（1,4,6）
切平面方程为x-1+4(y-2)+6(z-2)=0或x+1+4(y+2)+6(z+2)=0 
对应的法线方程为x-1/1=y-2/4=z-2/6和x+1/1=y+2/4=z+2/6