Question

已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵坐标上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。

同济七版上的一个题目，总习题7第六题。为什么书上给的答案是x-xlnx，而我求出来的是x-xln|x|，张宇带你学高数上的答案也是x-xln|x|，这个绝对值有什么讲究吗？

Answer 1

曲线在(a,f(a))的切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)，截距为-af'(a)+f(a)，由题意,有-af'(a)+f(a)=a，即解微分方程：-xy'+y=x,y(1)=1，dy/dx=y/x-1。

“输出”（即纵坐标，调整后的亮度）是154，意味着把亮度由127提高到154。亮度的取值范围是0～255，由于曲线的连续性，不仅这个点升高了，它左边的点（原来亮度为0～127）和右边的点（原来亮度为127～255）也升高了，这就是说整个画面的亮度都提高了。

RGB曲线：

它的横坐标是原来的亮度，纵坐标是调整后的亮度。在未作调整时，曲线是直线形的，而且是45°的，曲线上任何一点的横坐标和纵坐标都相等。

这意味着调整前的亮度和调整后的亮度一样，当然如果你把曲线上的一点往上拉，它的纵坐标就大于横坐标了，这就是说，调整后的亮度大于调整前的亮度，也就是说，亮度增加了。

“曲线”对话框还显示你所调整的点的“输入”、“输出”值，它们实际上就是横坐标和纵坐标。上图“输入”（即横坐标，调整前的亮度）是127。

Answer 2

曲线y=f(x)在(x,f(x))处的切线是Y-f(x)=f'(x)(X-x),
依题意它的纵截距f(x)-xf'(x)=x,
即y-xy'=x.①
由y-xy'=0,分离系数得dy/y=dx/x,
积分得lny=lnx+lnc,y=cx.
设y=xc(x),则y'=c(x)+xc'(x),代入①，-x^2*c'(x)=x,
c'(x)=-1/x,c(x)=-ln|x|+c1,
y=x(-ln|x|+c1),它过点(1,1),
所以c1=1.
所以y=x-xln|x|.

Answer 3