Question

这道题目选A 导数问题还涉及到微分中值定理 为什么选A （a,b）开区间上面不一定取得最值

因为他两个端点不能取，假如最值在a b点上，这不就不成立了吗

Answer 1

因为函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则按照微分中值定理有：对于（a,b）内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)。
即，由于f(a)=f(b), 则f'(c)*(b-a)=0，由于b≠a，则必有f'(c)=0；即，点c是函数的极值点。
所以，选A，必有（至少有）一个极大或极小值。

Answer 2

A选项中最大值或最小值，在端点上如果取最大值，在开区间上可以取最小值;端点上如果取最小值，开区间可以取最大值，所以A选项是成立的。它并没有说存在最大值且最小值。这样BC自动排除，而D选项，没有说在区间可导，不能用中值定理判断一定存在f'(x)=0的点存在。

Answer 3

这是因为微分中值定理建立了函数值与函数在一点的导数值的精确的相等关系，即：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导。则对于（a,b）内任意一点x，在[a,x]上应用微分中值定理有，在(a,x)内至少存在一点c，使得f(x)-f(a)=f'(c)*(x-a)，即f(x)=f(a)+f'(c)*(x-a)。最后这个等式反映的是函数值与在某点导数值的精确关系。